在宽泛 $\ell$ 范围内构造最稀疏的 $\ell$-哈密顿饱和 $k$-一致超图

给定 $k\ge3$ 和 $1\leq \ell< k$，一个 $(\ell,k)$-圈是指其中连续的边（每条大小为 $k$）恰好在 $\ell$ 个顶点上重叠。我们研究不包含哈密顿 $(\ell,k)$-圈、但一旦添加一条新边便立即产生此类圈的 $k$-一致 $n$-顶点超图的最小边数。已有猜想称该边数为 $n^\ell$ 阶，并已在 $\ell\in\{1,k/2,k-1\}$ 以及上范围 $0.8k\leq \ell\leq k-1$ 得到证实。在此我们将该猜想的有效性扩展至中下范围 $(k-1)/3\le\ell<(k-1)/2$。