切片正则函数的 $*$-对数

在本文中，我们研究方程 $\exp_{*}(f)=g$ 的（可能的）解，其中 $g$ 是四元数 $\mathbb{H}$ 的圆形域上的切片正则且无零点的函数，而 $\exp_{*}$ 是通常指数到切片正则函数代数的自然推广。任何满足 $\exp_{*}(f)=g$ 的函数 $f$ 称为 $g$ 的 $*$-对数。在域 $\Omega$ 的一个自然拓扑条件下，我们给出了用 $g$ 的“向量”部分 $g_{v}$ 的零点集表示的 $g$ 存在 $*$-对数的充要条件。顺便，我们证明了若 $g_{v}$ 无非实孤立零点则存在性结果；我们也能够处理更一般情形的统一方法。因此我们能在 $g_{v}$ 的非实孤立零点有限、域为单位球或 $\mathbb{H}$ 或 $\mathbb{D}$ 且 $g$ 的“实部” $g_{0}$ 满足进一步条件时得到存在性结果（精确表述见定理 6.19）。我们还发现了一些出人意料的唯一性结果，同样与 $g_{v}$ 的零点集相关，与复变情形形成鲜明对比。文中给出了若干例子以说明所需条件的尖锐性。