大模数算术序列中素数的分布及 Harman 筛法的改进

我们研究了大小为 $x$ 的素数在模数大于 $x^{\frac{1}{2}}$ 的算术序列中的平均分布。利用众多作者的工作及原始 Harman 筛法的不同变体，我们构建适当的上估计器和下估计器，用于素数指示函数 $\mathbb{1}_{p}(n)$，其满足不同类型模数的 Bombieri-Vinogradov 类型均值定理。具体而言，我们获得了关于素数的均值定理，涉及模数至 $x^{\frac{9}{17}}$ 的双线性形式或至 $x^{\frac{17}{32}}$ 的三线性形式。作为副产品，我们得到适用于大多数模数 $q$ 的 $\pi(x; q, a)$ 的新型上界和下界。