算术代数正则化引理

我们给出一个算术正则化引理，适用于有限域中可定义的群，类似于 Tao 于有限域中可定义图的“代数正则化引理”。更具体地说，我们证明了对于任意$M>0$，任意有限域$\mathbf{F}$，以及$\mathbf{F}$中可定义的群$(G,\cdot)$和可定义子集$D\subseteq G$，其中复杂度至多为$M$，存在一个正规可定义子群$H\leqslant G$，指数与复杂度为$O_M(1)$，使得以下内容成立：对于任意余集$V,W$，二分图$(V,W,xy^{-1}\in D)$是$O_M(|\mathbf{F}|^{-1/2})$-准随机的。各种类似的正则化条件也随之得出；例如，对于任意$g\in G$，傅里叶系数$||\widehat{1}_{H\cap Dg}(\pi)||_{\mathrm{op}}$是$O_M(|\mathbf{F}|^{-1/8})$，其中$\pi$为$H$的每个非平凡不可约表示。