互补多项式族及其在任意偶数阶空间微分方程有限元方法中的应用

引入互补多项式族，为任意 $m \ge 0$ 生成阶数 $p \geq 2m+2$ 的 $C^m$ 有限元基函数。一个族由 Hermite 样条组成，通过确保跨单元边界的 $C^m$ 连续性作为节点基函数。在规范区间 $[0,1]$ 上给出了这些样条对于任意 $m \ge 0$ 的显式公式。第二个族在区间 $[-1,1]$ 上由 $p-m-1$ 次 Legendre 多项式的 $m+1$ 阶导数乘以在 -1 和 1 处的 $m+1$ 次二项式幂导出。这些多项式与超球多项式相关，用作内部或泡型基函数。论证了两个多项式族之间的关系。对于特定的 $m$ 和 $p$，使用这些基对以及相关超球多项式的根和区间端点构造了一个插值函数。给出了将 $m=0$ 和 $m=1$ 结果推广的插值误差公式。为了证明该公式，引入了 Lagrange 插值的扩展。在线性情况下，于 $H^{m+1}$ 中证明了超收敛结果以及插值函数与有限元解的相关渐近等价性。计算结果在模型问题上验证了该理论。