霍夫曼码与香农-范诺码的竞争优势

对任意有限离散信源，前缀码 $C_1$ 相对于前缀码 $C_2$ 的竞争优势为 $C_1$ 产生比 $C_2$ 更短码字的概率减去 $C_2$ 产生比 $C_1$ 更短码字的概率。对任意信源，若某前缀码相对于所有其他前缀码均具有非负竞争优势，则称其为竞争最优的。1991年，Cover 证明了对所有二进信源（即符号概率为 $2$ 的负整数次幂的信源）霍夫曼码是竞争最优的。我们证明了如下渐近逆定理：随着信源规模增大，随机选取的非二进信源的霍夫曼码为竞争最优的概率收敛于零。我们还证明：(i) 对任意非二进信源，霍夫曼码相对于香农-范诺码具有正竞争优势；(ii) 对任意信源，任意前缀码相对于霍夫曼码的竞争优势严格小于 $\frac{1}{3}$；(iii) 对每个整数 $n>3$，存在一个规模为 $n$ 的信源及某前缀码，其相对于霍夫曼码的竞争优势可任意接近 $\frac{1}{3}$；(iv) 对每个正整数 $n$，存在一个规模为 $n$ 的信源及某前缀码，其相对于香农-范诺码的竞争优势随 $n\to\infty$ 可任意接近 $1$。