全连接下的 CNOT 距离是 NP 完全的

给定 $A\in\operatorname{GL}(N,2)$ 和一个整数 $K$，我们询问在具有全连接性的固定标记线上，$A$ 是否能由至多 $K$ 个 CNOT 门实现。我们证明这个问题是 NP 完全的。从一个有限简单图 $G=(V,E)$，我们构造一个上单位三角矩阵 $A_G\in\operatorname{GL}(2|V|+|E|+1,2)$，满足 $\ell_{\mathrm{CNOT}}(A_G)=2|V|+2|E|+\tau(G)$，其中 $\tau(G)$ 是最小顶点覆盖大小。每个目标矩阵有 $O(N)$ 个非零项，且行 Hamming 重量至多为四。下界证明将任意 CNOT 电路展开为一个 XOR 有向无环图，并应用投影-收缩操作，允许抵消和不受限制地重用中间奇偶性。对于这一族矩阵，任何必须被恢复的有限数量干净或借用辅助线都不会改变最优值。多项式时间解码器进一步产生了在每个固定加性常数内的近似 NP 困难性，并通过从三次图上的最小顶点覆盖进行的 L-归约，证明了相关 CNOT 电路优化问题的 APX 困难性。