噪声图信号重建中样本大小的影响：理论阐述

从图节点子集的噪声观测中重建图上的信号是图信号处理领域的基本问题。本文通过深入的理论分析，探讨了样本大小对噪声下重建误差的影响，重点考察了文献中两种最常见的重建方法：最小二乘重建（LS）和图拉普拉斯正则化重建（GLR）。我们的定理表明，在足够低的信噪比（SNR）下，这两种重建方法下，同时减小样本大小和减小平均重建误差是可能的。进一步地，我们指出在足够低的 SNR 下，对于 LS 重建，误差曲线呈 $\Lambda$ 形；而对于 GLR 重建，当样本大小为 $O(\sqrt{N})$（其中 $N$ 为总节点数）时，比近乎完整观测得到的重建误差更小。我们给出 SNR 下限 $\tau$ 和 $\tau_{GLR}$ 的阈值，低于这些阈值时误差为非单调变化。我们通过实验在多种随机图模型、抽样方案和 SNR 水平下说明了这些理论结果。这些结果表明，样本大小的任何决策都必须结合数据噪声水平来做出。