二元喷漆店问题的经典与量子启发式算法

二元喷漆店问题(BPSP)是一个 $\mathsf{APX}$-难优化问题，常见于汽车制造：给定 $2n$ 辆车的序列，包含 $n$ 个不同型号各出现两次，任务是为每辆车决定两种颜色中的一种进行涂装，使得同一型号的两辆车颜色不同，同时最小化连续颜色交换次数。关键性能指标是喷漆交换率，即每辆车的平均颜色变化次数，直接影响生产效率和成本。先前的研究表明，深度 $p=7$ 的量子近似优化算法(QAOA)实现了 $0.393$ 的喷漆交换率，优于经典递归贪心(RG)启发式算法的期望比率 $0.4$ [Phys. Rev. A 104, 012403 (2021)]。更近期，经典递归星贪心(RSG)启发式算法被猜想可达到期望比率 $0.361$。在本研究中，我们通过将 BPSP 归约到加权 MaxCut 问题，建立了 QAOA 应用于 BPSP 的理论基础，并利用该框架在 $p=1$（记为 XQAOA$_1$ 和 RQAOA$_1$）下对两种最先进的低深度 QAOA 变体——可表达 QAOA(XQAOA)和递归 QAOA(RQAOA)——与迄今已知的最强经典启发式算法进行了基准测试。在 $2^7$ 到 $2^{12}$ 辆车的实例范围内，XQAOA$_1$ 实现了平均比率 $0.357$，超越了 RQAOA$_1$ 和所有经典启发式算法，包括 RSG 的猜想性能。令人惊讶的是，RQAOA$_1$ 的性能随规模增大而下降：尽管在每个递归层级使用了可证明最优的 QAOA$_1$ 参数，但在大多数 $2^{11}$ 辆车实例和所有 $2^{12}$ 辆车实例上被 RSG 超越。据我们所知，这是首次报道 RQAOA$_1$ 在大规模下的性能退化。相比之下，XQAOA$_1$ 保持稳健，展现出在渐近意义上超越所有已知启发式算法的强劲潜力。