识别 $(k,\ell)$ 稀疏图的渐近更快算法

$(k,\ell)$ 稀疏图族（由 Lorea 引入）在组合优化中发挥核心作用，具有广泛的应用，尤其在刚性理论方面。关键算法问题在于决定给定图是否为 $(k,\ell)$ 稀疏，若非如此，则需输出一组顶点集以证明稀疏性失败。虽然石子游戏算法长期以来在经典范围 $0 \leq \ell < 2k$ 上实现 $O(n^2)$ 的运行时间，在扩展范围 $2k \leq \ell < 3k$ 上实现 $O(n^3)$ 的运行时间，但此前仅在少数特殊情况下已知更快的界限。我们提出了针对参数范围 $0 \le \ell \le k$、$k < \ell < 2k$ 和 $2k \leq \ell < 3k$ 的新型识别算法。我们的ethods 结合了有限度数方向、根向连通性简化、增广路径技术以及基于质心分解的分治方法。这导致在使用最快当前可用的子程序时，实现经典范围内首个亚二次（实际是近线性）时间识别算法。在纯组合实现下，运行时间分别为 $0 \leq \ell \leq k$ 时的 $O(n\sqrt{n})$ 和 $k< \ell <2k$ 时的 $O(n\sqrt{n \log n})$。对于 $2k \leq \ell < 3k$，我们获得在 $\ell \leq 2k+1$ 时的 $O(n^2)$ 时间算法和其他情况下的 $O(n^2 \log n)$ 时间算法。每种情况下，算法还能返回显式的违规集合，证明输入图非 $(k,\ell)$ 稀疏。