可定向超映射的二部与欧拉部分对偶的刻画

我们首先将 Chmutov 和 Vignes-Tourneret 的三置换公式改写为二置换模型中的显式超边部分对偶公式，并证明在该模型中，部分对偶的作用恰好是保持每条超边的支撑和长度，同时反转对应于所选超边的 $\alpha$-循环。接下来，利用 Cori 和 Hetyei 的中间映射构造，我们为每个超边子集 $E'\subseteq E(H)$ 定义了一个黑/白光滑状态 $S_{E'}$，并严格证明了 $S_{E'}$ 的状态圆与部分对偶 $H^{E'}$ 的顶点一一对应。因此，$H^{E'}$ 是欧拉的当且仅当每个状态圆具有偶数长度。在此基础上，我们证明了以下两个主要定理： $$\begin{aligned} H^{E'}\text{ 是欧拉的} &\Longleftrightarrow \exists\text{ 一个 }M(H)\text{ 的交叉全方向 }\Omega \\ &\hspace{3.35em}\text{使得 } E'=D(\Omega)\cup T',\quad T'\subseteq T(\Omega), \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} H^{E'}\text{ 是二部的} &\Longleftrightarrow \exists\text{ 一个 }M(H)\text{ 的全交叉方向 }\Phi \\ &\hspace{3.35em}\text{使得 } E'=C(\Phi). \end{aligned}$$ 这里 $D(\Omega)$、$T(\Omega)$ 和 $C(\Phi)$ 分别表示所有 $d$ 型、$t$ 型和 $c$ 型超边的集合。与带状图情形不同，超映射设置表现出真正的新障碍：如果某个超边部分对偶是二部的，那么原始超映射的每条超边必须具有偶数长度。