高维正态向量的典型相关系数：有限秩情形

考虑一个正态向量 $\mathbf{z}=(\mathbf{x}',\mathbf{y}')'$，其由维度分别为 $p$ 和 $q$ 的两个子向量 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$ 组成。在拥有 $\mathbf{z}$ 的 $n$ 个独立观测值的条件下，我们从典型相关分析 (Canonical Correlation Analysis) 的角度，在高维设定下（即 $p$ 和 $q$ 均与样本量 $n$ 成正比）研究 $\mathbf{x}$ 与 $\mathbf{y}$ 之间的相关性。本文聚焦于 $\Sigma_{\mathbf{x}\mathbf{y}}$ 为有限秩 $k$ 的情形，即存在 $k$ 个非零典型相关系数，其平方记为 $r_1\geq\cdots\geq r_k>0$。在附加假设 $(p+q)/n\to y\in (0,1)$ 且 $p/q\not\to 1$ 下，我们研究 $r_i (i=1,\ldots,k)$ 的样本对应量，即样本典型相关矩阵 $S_{\mathbf{x}\mathbf{x}}^{-1}S_{\mathbf{x}\mathbf{y}}S_{\mathbf{y}\mathbf{y}}^{-1}S_{\mathbf{y}\mathbf{x}}$ 的最大 $k$ 个特征值 $\lambda_1\geq\cdots\geq \lambda_k$。我们证明存在一个阈值 $r_c\in(0,1)$，使得对于每个 $i\in\{1,\ldots,k\}$，当 $r_i\leq r_c$ 时，$\lambda_i$ 几乎必然收敛于样本典型相关矩阵极限谱分布的右边缘，记为 $d_r$；而当 $r_i>r_c$ 时，$\lambda_i$ 在 $(d_r,1]$ 内具有几乎必然极限，由此我们可以反过来恢复 $r_i$，从而在高维场景下提供对后者的估计。