Singular Fractional $g$-Laplacian 问题的比较原理

本文建立了一个具有独立兴趣的新型比较原理，并在局部 Orlicz-Sobolev 空间框架内证明了以下类分数椭圆问题的弱解的唯一性：\n\n\begin{equation*} (-\Delta)^{s}_{g} u = f(x) u^{-\alpha} + k(x) u^{\beta}, \quad u > 0 \quad \text{in } \Omega; \quad u = 0 \quad \text{in } \mathbb{R}^{N} \setminus \Omega, \end{equation*}\n\n其中，$\Omega \subset \mathbb{R}^{N}$ 为光滑有界域，$\alpha > 0$，$\beta > 0$ 满足适当的上界。此处，$(-\Delta)^{s}_{g}$ 表示分数 $g$-Laplacian，其中 $g$ 为 Young 函数 $G$ 的导数。函数 $f$ 被假设为非平凡的，而 $k$ 为正函数，$f$ 和 $k$ 均被假设位于适当的 Orlicz 空间中。我们的分析依赖于一种细化的变分方法，结合 $G$-分数版本的 D\'iaz--Saa 不等式，以及 $G$-分数类似 Picone 恒等式的工具。这些工具虽属独立兴趣，但在特征值简单性、Sturmian 型比较结果、Hardy 型不等式及相关主题的研究中也发挥着关键作用。