关于鞍点问题的三重 Bregman 平衡原始-双向算法

原始-双向混合梯度（PDHG）方法是求解鞍点问题最流行的算法之一。然而，当将 PDHG 方法及其许多变体应用于信号处理、影像科学和统计学习中常见的实际模型时，往往存在两个子问题之间的不平衡，其中双向子问题通常比原始子问题更容易求解。本文提出一种灵活的三重 Bregman 平衡原始-双向算法（TBDA），用于求解一类（非平凡的）凸-凹鞍点问题，包含双线性耦合项。具体而言，TBDA 主要包含两个双向子问题和一个原始子问题。此外，在各子问题中嵌入三个 Bregman proximal 项，每个 Bregman proximal 项都带有各自的 Bregman 核函数。如此一来，它有效地实现了在原始子问题和双向子问题之间取得实际平衡。更有趣的是，它为我们提供了灵活的算法框架，以理解一些现有迭代方案并为特定应用生成定制化结构利用算法。理论上，我们首先在一定温和条件下建立 TBDA 的全局收敛性和 Ergodic 收敛率。特别是，在合适的参数设置下，TBDA 允许比 PDHG 方法更大的步长。随后，在对目标函数要求进一步严格时，我们相应地引入两种改进版本，收敛率优于原始 TBDA。一些在合成数据和真实数据上的数值实验表明，TBDA 在实际操作中优于 PDHG 方法及其他高效变体。