$\mathbb Q(\sqrt{2},\sqrt{pq},\sqrt{ps})$ 中剩余平方类的局部认证：一种单比特、仿射和有限选择 Hilbert 符号框架

El Hamam 最近工作中描述了几个多二次域（degree 8 和 16）的显式基本单位系统。在 degree-8 域 $L^+ = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{pq}, \sqrt{ps})$ 中，纠正后的分类仍留下残余二进制不确定性：必须决定在两个显式构造的平方类中选择哪一个作为最终单位生成器。本文将此剩余比特显式化。首先，我们给出一个显式的局部准则，用于决定参数 $\mu \in \{1, \epsilon_{pq}\}$ 在近期文献中留下的开放问题。该准则首先以单个有限处的 Hilbert 符号形式表达，然后进一步细化为在选定的分裂辅助有理素数上的残差准则。其次，我们表明标准残差数据 $D(p,q,s) = \left( p \bmod 8,\,\, q \bmod 8,\,\, s \bmod 8,\,\, \biggl(\dfrac{q}{p}\biggr),\,\biggl(\dfrac{s}{p}\biggr),\,\biggl(\dfrac{q}{s}\biggr) \right)$ 并不决定最终生成器：我们计算了若干具有相同 $D(p,q,s)$ 但残差比特取相反值的显式三元组。最后，我们将单比特问题置于 $K^\times/K^{\times2}$ 中局部认证结果的层次结构之内：除了线性残差选择命题外，我们证明了残差选择余数的仿射局部认证定理以及任意有限候选族的有限测试集分离定理。