有限样本位置估计的两点测试速率的可达性

Le Cam 的两点测试方法产生了估计分布均值的最简单下界：大致情况下，如果无法将以 $\mu$ 为中心的分布与以 $\mu+\Delta$ 为中心的相同分布良好区分，则无法比 $\Delta/2$ 更好地估计均值。是否可以实现与之相匹配的上界取决于设置。我们研究在位置估计（其中分布已知可译）和自适应位置估计（其中分布未知）两种情境下，两点测试下界能否被实现的条件。大致情况下，我们认为如果估计误差最多为 Hellinger 连续性模的多对数放大，则几乎可以实现两点测试下界。自适应位置估计尤其有趣，因为某些分布比亚高斯速率更可获得更好的保证（例如 $\operatorname{Unif}(\mu-1,\mu+1)$ 允许误差 $\Theta(\frac{1}{n})$，而亚高斯速率为 $\Theta(\frac{1}{\sqrt{n}})$），但尚不明确这些速率是否可以通过统一方法实现。我们的主要结果设计了一个算法几乎实现混合对称、凸分布（具有公共均值）的两点测试速率。此算法在近线性时间内运行且无需参数。相反，我们展示即使对于对称单峰分布，两点测试速率也几乎不可达。我们补充了位置估计的结果，表明两点测试速率在单峰分布上几乎可达，但对对称分布不可达。