超越机会约束凸混合整数优化：广义 Calafiore-Campi 算法与 $S$-优化概念

Calafiore 和 Campi 为处理机会约束凸规划而提出的场景方法，利用对不确定性参数的随机采样，将原始问题替换为一个具有 $N$ 个凸约束的代表性连续凸优化问题，该问题是原始问题的松弛。Calafiore 和 Campi 给出了采样松弛规模 $N$ 的明确估计，以产生机会约束问题的高可能性可行解。他们度量了规模为 $N$ 的松弛的随机最优解违反原始约束的概率。本文有两个主要贡献。首先，我们将 Calafiore-Campi 的结果推广到整数和混合整数变量。事实上，我们证明了他们的采样估计自然适用于限制在实数空间 $\mathbb R^d$ 中某个子集 $S$ 内的变量。关键要素是 Helly 定理的推广，其中要求凸集与 $S \subset \mathbb R^d$ 相交。两种算法中的样本大小将由 $S$-Helly 数直接决定。受论文前半部分启发，对于任意子集 $S \subset \mathbb R^d$，我们引入 $S$-优化问题的概念，其中变量取值于 $S$ 上。它推广了连续、整数和混合整数优化。我们通过例子说明了 $S$-优化在捕捉具有困难模约束的复杂组合优化问题方面的表达能力。我们通过证明 K. Clarkson 著名的用于低维凸优化问题的随机采样算法可扩展至处理取值于 $S$ 的变量，强化了 $S$-优化是“正确概念”的证据。