高维中的贝西科维奇例子：具有大下密度的纯不可修正集

我们将贝西科维奇最初引入的一个例子推广到任意维数，对于每个 $d \geq 1$，得到纯 $d$-不可修正集 $E \subset \mathbb{R}^{d+1}$，使得对于 $\mathcal{H}^{d}$-几乎所有的点 $x \in E$，有 $\Theta_{\ast}^{d}(E, x) = \liminf_{r \to 0} \mathcal{H}^{d}(E \cap B_{r}(x))/(2r)^{d} = 1/2$。这确立了最小可能值 $\sigma$ 的下界 $1/2$，使得如果对于 $\mathcal{H}^{d}$-几乎所有的 $x \in E$ 有 $\Theta_{\ast}^{d}(E, x) > \sigma$，则 $E$ 是 $d$-可修正的。贝西科维奇曾猜想这个阈值恰好是 $1/2$。