超图中所有长度的 Berge 紧圈

给定正整数集合 $R$，$R$-图 $H = (V, E)$ 是一个超图，其中每条超边的基数属于 $R$。若 $R = \{r\}$，我们有时将该超图称为 $r$-图而非 $R$-图。对于集合 $S \subseteq V$，令 $d_H(S)$ 表示 $H$ 中包含 $S$ 的超边数。给定非负整数 $s$，最小 $s$-度 $\delta_s(H)$ 是 $d_H(S)$ 在 $V$ 的所有 $s$ 顶点子集 $S$ 上的最小值。设 $r$ 和 $t$ 为正整数且 $r < t$。我们用 $C_t^r$ 表示 $t$ 顶点 $r$ 均匀紧圈，它是一个具有至少三条超边的 $r$-图，其顶点存在一个循环排序，使得每 $r$ 个连续顶点构成一条超边。特别地，$C_t^2$ 是 $2$-图中的经典圈 $C_t$。对于超图 $F$ 和 $H$，若存在单射 $f \colon V(F) \to V(H)$ 和双射 $g \colon E(F) \to E(H)$ 使得对所有 $e \in E(F)$ 有 $\{f(v): v \in e\} \subseteq g(e)$，则称 $H$ 为 Berge-$F$。Lu 和 Wang [Discrete Math. 344 (2021), 112462] 证明了：每个在 $n \geq 6$ 个顶点上且 $\delta_2(H) \geq 1$ 的 $[3]$-图 $H$ 包含所有 $3 \leq t \leq n$ 的 Berge-$C_t$。在本文中，我们证明：对于任意正整数 $r$ 和任意集合 $R \subseteq [k]$（其中 $k \geq 2$），存在整数 $n_0 = n_0(k,r)$，使得每个在 $n \geq n_0$ 个顶点上且 $\delta_r(H) \geq 1$ 的 $R$-图 $H$ 包含所有 $r+1 \leq t \leq n$ 的 Berge-$C_t^r$。特别地，当 $k = 4$ 且 $r = 3$ 时，我们证明：每个在 $n \geq 9$ 个顶点上且 $\delta_3(H) \geq 1$ 的 $[4]$-图 $H$ 包含所有 $4 \leq t \leq n$ 的 Berge-$C_t^3$。我们还刻画了 $4 \leq n \leq 8$ 时的所有反例。