基于 AVX-512 向量化的二阶奇异值分解批量计算

本文提出一种向量化算法，用于同时计算多达八个实或复的二阶矩阵（每个形如 $A=U\Sigma V^{\ast}$）的奇异值分解（SVD）。该算法可扩展至任意长度 $n$ 的矩阵批，例如出现在用于 $2n$ 阶方阵 SVD 的并行 Kogbetliantz 算法的消去部分中。首先推导单个二阶矩阵的 SVD 算法。它在大多数情况下无误差地缩放输入矩阵 $A$，使其奇异值 $\Sigma_{ii}$ 在元素有限时不会溢出，然后计算缩放矩阵的 URV 分解，接着计算一个非负上三角中间因子的 SVD。随后引入一种对批处理向量友好的数据布局，其中每个输入和输出矩阵的同索引元素构成向量，并描述了算法在此类向量上的步骤。结果表明，向量化方法比孤立处理每个矩阵快约三倍，同时对 $2\times 2$ SVD 的直接方法在精度上略有提升。