双枢轴快速排序的平均情况与分布分析

2009 年，Oracle 在其 Java 7 运行时库中用 Vladimir Yaroslavskiy 开发的一种新型双枢轴快速排序（dual-pivot Quicksort）变体替换了长期使用的排序算法。该决定基于 Yaroslavskiy 的实现方案在运行时间实验中表现出的卓越性能。当时，尚无精确的理论研究能解释其优越性能；相反，此前对其他双枢轴快速排序变体的理论研究甚至不推荐使用双枢轴。直到 2012 年，本文作者中的两人对 Yaroslavskiy 算法的简化版本进行了平均情况分析，证明了其在比较次数上可能节省开销。然而，Yaroslavskiy 的算法需要更多的交换操作，这使得分析结论尚不明确。为了彻底解决这一问题，我们将分析扩展至 Knuth 式的完全详细风格：我们确定了执行的 Java 字节码指令的确切数量。令人惊讶的是，Yaroslavskiy 的算法所需的字节码指令略多于经典快速排序的简单实现，这与观察到的运行时间相矛盾。如同 Oracle 库的实现一样，我们引入了对小规模子问题使用插入排序（Insertionsort），并表明这确实从字节码角度加速了 Yaroslavskiy 的快速排序；但即使采用最优的插入排序阈值，这种新的快速排序变体在平均情况下仍需略多的字节码指令。最后，我们证明 Yaroslavskiy 算法的（适当归一化）代价收敛于一个随机变量，其分布由一个不动点方程刻画。据此，我们计算了代价的方差，并表明对于大 n，代价集中在其均值附近。