高维空间中正简图的个数

我们研究了极值函数 $S^k_d(n)$，其定义为由 $n$ 个点在 $\mathbb{R}^d$ 中所能张成的正 $(k-1)$ 简图的最大个数。对于任意固定的 $d\geq2k\geq6$，我们确定 $S^k_d(n)$ 在下序项中达到乘法常数的渐近行为。特别地，当 $k=3$ 时，我们确定 $S^3_d(n)$ 的确切值，适用于所有维数为 $d\geq6$ 且足够大的 $n$。这解决了Erd\H{o}s的猜想的更强形式。该证明利用了来自超图Turán理论和线性代数的技术。