FEniCS 与 Firedrake 中瞬态偏微分方程的自动形状导数
最优化与控制
2020-01-29 v1
摘要
在工业中，形状优化问题在设计飞机、汽车和涡轮等结构时极为重要。对于许多此类应用，结构随时间变化，伴有规定或未规定的运动。因此，在优化结构设计时于仿真中捕捉这些特征十分重要。使用基于梯度的算法时，手动推导形状导数可能变得非常复杂且易出错，尤其在含时非线性偏微分方程的情况下。为减轻这一负担，我们提出一种高级算法微分工具，可自动计算有限元框架 FEniCS 和 Firedrake 中偏微分方程的一阶和二阶形状导数。一阶形状导数使用伴随方法计算，二阶形状导数则结合切线性方法与伴随方法计算。伴随与切线性方程对任意变分形式序列均作符号推导。因此，我们的方法适用于广泛的 PDE 问题且具离散一致性。我们通过给出若干示例来阐明框架的通用性，这些示例涵盖平稳与瞬态区域上的线性、非线性和含时 PDE。
引用
@article{arxiv.2001.10058,
title = {Automatic shape derivatives for transient PDEs in FEniCS and Firedrake},
author = {Jørgen S. Dokken and Sebastian K. Mitusch and Simon W. Funke},
journal= {arXiv preprint arXiv:2001.10058},
year = {2020}
}