不可扩展乘积基的自动构造与验证

不可扩展乘积基 (UPB) 是量子信息论中的重要结构，在完全纠缠子空间、束缚纠缠和局部不可区分性方面有应用。由于 UPB 的许多性质和应用与其基数密切相关，UPB 研究的核心问题之一是确定给定多体系统中是否存在指定大小的 UPB。在本文中，我们引入了一个基于 $N$ 维超立方体分解的 SAT 辅助框架。我们定义了 $O_N$-瓦片分解，并证明了瓦片到 UPB 定理：每个 $O_N$-瓦片分解通过基于逐瓦片傅里叶乘积基和全局停止态的构造诱导出一个 UPB。然后，我们将对此类分解的搜索编码为布尔可满足性 (SAT) 问题，并使用 SAT 求解器生成显式实例。在验证方面，我们还实现了一种基于局部正交图和未饱和子空间的 UPB 验证算法。该算法可用于确定任意有限乘积态集合是否构成 UPB。利用此框架，我们在某些三体和四体系统中获得了若干大小的 UPB，包括在 $\mathbb C^3\otimes\mathbb C^3\otimes\mathbb C^3$ 中的大小 $13,14,\ldots,23$。此外，此处获得的小维实例可作为递归构造的种子 UPB，从而在更大的多体系统中产生更多示例。