有限域上矩阵的Waring问题

我们证明：若 $k$ 为正整数，则对于每个基数为 $q\neq 2$ 的有限域 $\mathbb{F}$ 以及每个正整数 $n$ 满足 $q^n>(k-1)^4$，则该域上每个 $n\times n$ 矩阵都可以表示为三个 $k$ 次方的和。此外，若 $n\geq 7$ 且 $k<q$，则该域上每个 $n\times n$ 矩阵都可以表示为两个 $k$ 次方的和。