Archimedes 遇见隐私：极小假设下高维分位数与 Tukey 深度的差分隐私估计

过去几年中，隐私约束下高维统计的工作激增，主要沿两条主线：不假设输入数据任何分布特性的“最坏情形”线；以及假设数据来自特定族（如亚高斯分布）的“强假设”线。本文取中间路线，在极温和的分布假设下，获得了具有多项式样本复杂度的新差分隐私算法，用于高维分位数估计，以及高 Tukey 深度点的估计与采样。从技术角度看，我们的工作依赖于凸几何文献中深刻的鲁棒性结果，展示了此类结果如何在隐私情境下使用。我们的主要兴趣对象是（凸）浮体（FB），这一概念可溯及 Archimedes，是分位数间距的一个鲁棒且被充分研究的高维类比。我们展示了如何以隐私方式并利用多项式多样本：(a) 通过利用 FB 的 Steiner 点的鲁棒性，输出 FB 的一个近似内点——例如高维数据库中的“典型用户”；并以多出多项式多样本的代价，(b) 通过构造一个私有噪声投影预言机，产生 FB 的近似均匀样本。