在完全递归分布式基于任务并行框架中近稀疏衰减矩阵的近似乘法

本文考虑具有元素指数衰减特性的大矩阵近似乘法的并行实现。此类矩阵出现在与电子结构计算及计算科学若干其他领域相关的计算中。通常，通过对输入矩阵的小元素进行丢弃（截断）来引入稀疏性。另一种方法，即稀疏近似乘法算法 [M. Challacombe and N. Bock, arXiv preprint 1011.3534, 2010] 对子矩阵乘积进行截断。我们考虑这两种方法及其组合，即同时对输入矩阵与子矩阵乘积进行截断。文中给出并讨论了使用 Chunks and Tasks 编程模型与库 [E. H. Rubensson and E. Rudberg, Parallel Comput., 40:328-343, 2014] 的实现。我们证明，对于三种方法，Frobenius 范数下的绝对误差在 $n \to \infty$ 时表现为 $O\left(n^{1/2} \right)$，在 $\tau \to 0,\,\, \forall p < 2$ 时表现为 $O\left(\tau^{p/2} \right)$，其中 $n$ 为矩阵规模，$\tau$ 为截断阈值。我们在一个模型问题上对方法进行比较，表明组合方法优于原有的两种方法。这些方法还被应用于来自约 $10^6$ 个原子的大型化学系统的矩阵。我们表明，两种方法的组合通过将通信量减少约 $\approx 2$ 倍而实现了更好的弱缩放性。