量子近似优化算法在求解全支配问题中的应用

量子计算的最新进展推动了量子算法在组合优化问题中应用的广泛研究。在这些挑战中，全支配问题（TDP）是该领域的一个经典且关键的范式。对于图 $G(V, E)$，TDP 要求找到一个最小子集 $D \subseteq V$，其中不包含孤立顶点，且每个不在 $D$ 中的顶点至少有一个在 $D$ 中的邻居。TDP 在计算机网络、社交网络和通信等领域有广泛应用。自上世纪后半叶以来，研究工作致力于建立其 NP 完备性并开发求解算法，这已成为组合数学的基础。尽管有着丰富的历史，但量子算法在 TDP 中的应用仍未被充分探索。在本研究中，我们首次将量子近似优化算法（QAOA）应用于 TDP，并在广泛的参数集上评估其有效性。本文证明求解 TDP 所需量子比特数的上界为 $2|V| + |V| \log_2\left(\frac{2|E|}{|V|} - 1\right)$。我们的实验结果表明，QAOA 在解决 TDP 方面是有效的：在大多数参数组合下，它成功计算出一个有效的全支配集（TDS）。然而，算法在识别最优 TDS 方面的性能取决于特定参数的选择，揭示了有效参数点分布的显著偏差。本研究为量子算法求解 TDP 的潜力提供了有价值的见解，并为该领域的未来研究奠定了坚实基础。