Duffing-Holmes振子中的反周期轨道与自发对称破缺

我们研究了周期驱动的Duffing-Holmes振子中反周期性（满足$x(t+T)=-x(t)$的振荡）的起源和分布，结合了分析论证与广泛的数值探索。我们首先确立了存在非平凡反周期轨迹所需的、关于非线性和对称性的最小条件，并描绘了反周期、周期和混沌区域在相空间和参数空间中是如何组织的。反周期轨道被证明正是那些在运动方程的半周期平移对称性$S:(x,\dot{x},t)\mapsto(-x,-\dot{x},\,t+T_d/2)$（其中$T_d$为驱动周期）下保持不变的周期轨道。这种不变性施加了一个宇称选择规则，在我们的参数扫描中无一例外地得到验证：反周期轨道仅在驱动周期的奇数倍处与驱动锁定。缺乏这种反对称性的周期轨道则以与$S$相关的共轭对形式出现，每条轨道都是其孪生轨道的点反射；在潜在分岔附近发生的自发对称破缺选择每对中的一个成员，而这对轨道作为一个整体则恢复了每条轨道各自失去的对称性。因此，反周期性并非作为特定波形的偶然属性出现，而是驱动系统离散对称性在轨道层面的体现。