湮灭、独立与残差：湮灭间隙的尖锐匹配界及TxGraffiti应用

设$G$为有限简单图。湮灭数$a(G)$是独立数$\alpha(G)$的一个可有效计算的上界。我们为间隙$a(G)-\alpha(G)$发展了一套尖锐的匹配数理论。最强的一般定理是精确的闭式形式$$a(G)-\alpha(G)\leq 2\mu(G)+1- \lceil \sqrt{6 \mu(G)} \rceil \qquad(\mu(G)\geq 1),$$ 并且该界对每个指定的匹配数都能达到。我们还证明了森林、二部图和König-Egerváry图的尖锐匹配相关界，并给出了等式构造、等式证书和等式判据。最后，我们将TxGraffiti的输出作为机器猜想案例研究。使用湮灭分解以及经典的Havel-Hakimi残差不等式$res(G)\leq \alpha(G)$，我们给出了TxGraffiti湮灭-残差不等式$$\alpha(G)\geq \frac{a(G)+res(G)}{\Delta(G)}$$ 对每个阶数至少为三的连通图$G$的独立证明，表明两个假设都是必要的，并将此证明与最近的Caro-Wei方法进行了比较。我们还通过一个显式的非负松弛项改进了Caro-Wei湮灭估计，以度序列形式确定了其等式情况，并将该改进与我们的精确匹配数界相结合，获得了独立数的组合可计算区间和湮灭间隙的Gupta-残差界。