任意幂律 limb darkening 下的轨道光变曲线解析解：统一框架

我们给出面向任意实数幂律 limb darkening 的系外行星轨道光变曲线的首个精确解析解，$I(\mu) = I_0\mu^\alpha$ 其中 $\alpha > -2$，摆脱了仅限于整数幂多项式形式的两 decades 限制。这一推广解决了一个根本性障碍：物理驱动的恒星大气模型需要非整数指数——最关键的是平方根定律（$\alpha=1/2$）对于 M 型恒星表征以及克拉特四参数定律中的半整数幂——然而现有框架仅支持整数幂，迫使依赖数值积分或多项式近似，引入约 $10^{-3}$ 水平的系统误差。我们发展了三个在数学上等价的表述：（1）几何核表示将阻挡光通量表达为一维径向积分；（2）分数计算框架通过 Riemann-Liouville 算子得到精确的超几何解；（3）数值稳定的超几何积分形式，保证收敛。所有三个方法均再现整数 $\alpha$ 的已知椭圆积分表达式，确认本框架为真正的推广。对于中心轨道，我们获得精确闭式解 $\mathcal{F} = (1-p^2)^{1+\alpha/2}$。线性叠加使多参数定律的精确处理无需特殊情况逻辑。使用 45 位精度算术的验证表明，跨所有几何区域，包括超越性指数（$\pi/2$, $\sqrt{2}$, $e-2$），各方法间误差 $|\Delta\mathcal{F}| \lesssim 10^{-13}$。与蒙特卡罗积分相比，本方法在精度上提升了九个数量级，计算速度快约 $10^4$ 倍，为 JWST、TESS 和下一代设施的贝叶斯推断提供高效支持。