由聚类应用驱动的局部深度函数的解析与统计性质

局部一般深度（$LGD$）函数用于描述多元分布中的局部几何特征与模式（众数）。本文对$LGD$进行严谨的系统性研究，并建立若干解析与统计性质。首先，我们证明当底层概率分布以密度$f(\cdot)$绝对连续时，$LGD$的缩放版本（称为$\tau$近似）在$\tau$趋于零时一致且于$L^d(\mathbb{R}^p)$中收敛于$f(\cdot)$。其次，我们确立当样本量趋于无穷时，中心化且缩放的样本$LGD$在$\mathcal{H}_G$（产生$LGD$的函数类）上的有界函数空间中一致地依分布收敛于一个中心化高斯过程。第三，利用$\tau$近似的样本版本（$S \tau A$）与梯度系统分析，我们开发了一种新的聚类算法。该算法的有效性需要若干关于与$S \tau A$相关的梯度系统的一致有限差分近似的结果。为此，我们建立了中心化且缩放的样本$LGD$偏离的\emph{Bernstein}型不等式，这也具有独立意义。最后，借助上述结果，我们确立了该聚类算法的一致性。本文还给出了所提方法在模式估计与上水平集估计中的应用。通过数值实验与数据分析评估了该方法的有限样本表现。