通过交错族改进Bilu-Linial猜想的上界

Bilu-Linial猜想断言每个$d$-正则图都存在一个符号$\sigma$，使得符号邻接矩阵$A_\sigma$的谱半径满足$\rho(A_\sigma)\le 2\sqrt{d-1}$。Bilu和Linial还证明了最大度为$d$的图的较弱界$O(\sqrt{d\log^3 d})$。Marcus、Spielman和Srivastava在$d$-正则二分图的情形下证实了该猜想。在本文中，我们证明每个最大度为$d$的图都存在一个符号$\sigma$，使得 $$\rho(A_\sigma)\le 2\sqrt{3(d-1)}。$$ 这去除了Bilu和Linial估计中的多对数因子，并给出了显式的$2\sqrt{3(d-1)}$双侧谱界。证明基于Marcus、Spielman和Srivastava引入的交错多项式方法，以及Marcus、Spielman和Srivastava以及Bownik建立的混合特征多项式结果。