一种改进的 $k$-Dyck 编辑距离问题算法

Dyck序列是一种各类括号平衡的开闭序列。给定括号序列 $S$ 的 Dyck 编辑距离是将 $S$ 变换为 Dyck 序列所需的最小编辑操作数（插入、删除和替换）。我们考虑阈值 Dyck 编辑距离问题：输入为括号序列 $S$ 和正整数 $k$，目标是仅当距离不超过 $k$ 时计算 $S$ 的 Dyck 编辑距离，否则报告距离大于 $k$。Backurs 和 Onak [PODS'16] 证明了阈值 Dyck 编辑距离问题可在 $O(n+k^{16})$ 时间内求解。本工作中，我们设计了新的阈值 Dyck 编辑距离算法，以高概率在 $O(n+k^{4.544184})$ 时间内或在确定性 $O(n+k^{4.853059})$ 时间内完成。我们的算法结合了 Dyck 编辑距离问题的若干新结构性质、改进的快速 $(\min,+)$ 矩阵乘积算法，以及对 Valiant 解析算法中思想的细致修正。