MMS猜想的一个熵类比

设$P=\{x_1,\ldots,x_n\}$是由$n\ge 2$个实数组成的多重集，满足$\sum_{i=1}^{n}x_i=0$且$\sum_{i=1}^{n}|x_i|>0$，并设$k <n$为正整数。我们从$P$中无放回地抽取$k$个元素，并设$X_P$为我们样本中元素的和。证明了$X_P$的香农熵满足 $$\mathbf{H}(X_P) \ge \mathbf{H}(\text{Ber}(k/n)) \, ,$$ 其中$\text{Ber}(k/n)$是均值为$k/n$的伯努利随机变量。该结果是精确的，可视为Manickam-Miklós-Singhi (MMS)猜想的一个熵类比。