消灭数-Caro-Wei 界：TxGraffiti 猜想与独立数括界

自动猜想程序扫描图集以寻找没有存储图违反的不变量间不等式，然后将幸存的不等式提供以供证明或反驳。TxGraffiti 是此类程序之一，它猜想每个非平凡连通图 $G$ 满足 $\alpha(G) \ge \bigl(a(G) + R(G)\bigr)/\Delta(G)$，其中 $\alpha$ 为独立数，$a$ 为消灭数，$R$ 为残数，$\Delta$ 为最大度。该猜想此前仅对两族特殊图被证明，其余情况一直悬而未决。本文证明了度序列不等式 $a \le \tfrac{\Delta+1}{2}W$，其中 $W$ 为 Caro-Wei 和；以独立数代替 $a$ 时已知有相同的不等式。结合经典下界 $\alpha \ge R$ 和 $\alpha \ge W$，该结果对所有最大度至少为 3 的连通图证明了此猜想，而直接论证解决了最大度为 2 的情况；该猜想仅对最大度为 1 的单条边失效。该不等式还在多项式时间可计算量 $R$ 和 $a$ 之间将独立数括于因子 $(\Delta+1)/2$ 之内。该猜想的界是紧的，例如在四个顶点的完全图上可取得等号。