未知域上多元函数逼近的自适应采样与域学习策略

计算科学与工程中的许多问题可描述为从样本数据逼近一个 $d$ 变量光滑函数，该函数定义于未知的感兴趣域 $\Omega\subset \mathbb{R}^d$ 上。此处维度灾难（$d\gg 1$）以及缺乏域知识（$\Omega$ 可能不规则和/或断开）是基于采样方法的混淆因素。朴素方法常导致样本浪费和低效逼近方案。例如，均匀采样在某些问题中会造成多达 20\% 的浪费样本。在计算不确定性量化（UQ）的代理模型构建中，计算样本的高成本需要更高效的采样过程。近年来，针对不规则域从样本数据计算此类逼近的方法已被研究。已证明计算依赖于维数为 $N$ 的逼近空间 $P$（即 $\dim(P)=N$）的采样度量的优势。特别地，此类方法带来诸如稳定性和良态性等优点，其样本复杂度为 $\mathcal{O}(N\log(N))$。最近提出的通用域自适应采样（ASGD）策略是构建这些采样度量的一种方法。本文的主要贡献是通过在未知域上自适应更新采样度量来改进 ASGD。为此，我们首先引入通用域自适应策略（GDAS），其从样本点逼近函数和感兴趣域。其次，我们提出未知域自适应采样（ASUD），其在可能事先未知的域上生成采样度量。我们的结果表明，ASUD 方法始终能以相同或更小的误差达到均匀采样的效果，但使用的评估次数更少，且往往显著更少。