对数-拉普拉斯变换的算法层面与非欧几里得邻近采样器

开发适用于非欧几里得几何的高效采样算法一直是一项艰巨任务，因为在欧几里得设定下成功的离散化技术不易推广到更一般的设定。我们开发了 [LST21] 近期邻近采样器的非欧几里得类比，其通过称为密度对数-拉普拉斯变换（LLT）的对象自然引入正则化。我们证明了 LLT 新的（具有算法色彩的）数学性质，如强凸-平滑对偶与等周不等式，用于证明在热启动下我们的邻近采样器混合时间可与 [LST21] 匹配。作为主应用，我们展示了热启动采样器将 $p \in [1, 2]$ 时 $\ell_p$ 与 Schatten-$p$ 范数下差分隐私凸优化的价值预言机复杂度改进至与欧几里得设定 [GLL22] 匹配，同时保留最先进的过剩风险界 [GLLST23]。我们发现对 LLT 的探究是其作为采样器设计工具的效用的一个有前景的概念验证，并概述了未来探索方向。