$\mathbb{F}_q^l$ 积环上的多循环码及其消解对偶

本文中，针对有限域 $\mathbb{F}_q$，我们证明了 $\mathbb{F}_q$-代数 $\mathbb{F}_q[x]/\langle f(x) \rangle$ 当且仅当 $f(x)$ 在 $\mathbb{F}_q$ 中分解为互不相同的因子时，同构于积环 $\mathbb{F}_q^{\deg f(x)}$。我们将此结果推广到多元 polynomial algebra $\mathbb{F}_q[x_1, x_2,\dots, x_k]$ 以理想 $\langle f_1(x_1), f_2(x_2),\dots, f_k(x_k)\rangle$ 的商中。另一方面，我们建立了如下结论：每个有限维 $\mathbb{F}_q$-代数 $\mathcal{S}$ 若其正交基中元素的和等于 $1_{\mathcal{S}}$，当且仅当 $\mathcal{S}\cong\mathbb{F}_q^l$（其中 $l=\dim_{\mathbb{F}_q} \mathcal{S}$）作为 $\mathbb{F}_q$-代数。与其研究 $f_i(x_i)$ 在 $\mathbb{F}_q$ 中分解为互不相同的线性因子的 $\mathbb{F}_q$-代数 $\mathbb{F}_q[x_1, x_2,\dots, x_k]/\langle f_1(x_1), f_2(x_2),\dots, f_k(x_k)\rangle$ 上的多循环码（这属于 $\mathbb{F}_q^l$ 的子类），我们研究 $\mathbb{F}_q^l$ 上的多循环码并获得其对每个正交基的 $\mathbb{F}_q$-分解。我们将其称为 $\mathbb{F}_q$-分解。$\mathbb{F}_q$-分解使我们能够运用 $\mathbb{F}_q$ 上多循环码的结果来研究 $\mathbb{F}_q^l$ 上的多循环码；例如，我们证明了 $\mathbb{F}_q^l$ 上的多循环码的消解对偶仍是 $\mathbb{F}_q^l$ 上的多循环码。此外，借助不同的 Gray 映射，我们构造了大量 MDS 或接近 MDS 或 optimal 码的例子，其中一些在 $\mathbb{F}_q$ 上为 LCD。最后，我们研究从 $(\mathbb{F}_q^l)^n$ 到 $\mathbb{F}_q^{nl}$ 的 Gray 映射，并利用 CSS 构造方法构建量子码。