基于自适应基的深度神经网络用于求解具有局部特征的偏微分方程
数值分析
2024-12-03 v1 数值分析
摘要
本文提出了一种基于自适应基的深度神经网络（ABI-DNN），用于求解具有锋利梯度和奇点等局部现象的偏微分方程。类似于自适应有限元方法，ABI-DNN 包含 "求解、估计、标记、增强" 的迭代过程，能够自动识别具有挑战性的区域并添加新的神经元以增强其能力。一个关键挑战在于迫使新的神经元聚焦于已识别的区域，但由于对其在逼近中的作用缺乏理解。为此，我们借鉴有限元基函数的思想，构建了新颖的基于基的块（BI-block），以帮助理解每个块的贡献。在借助 BI-block 和著名的Kolmogorov 超越定理的帮助下，我们首先发展出一种新的固定网络结构，称为基于基的深度神经网络（BI-DNN），随后将其整合到上述自适应框架中，提出 ABI-DNN。大量数值实验表明，BI-DNN 和 ABI-DNN 能够有效捕捉目标函数中具有挑战性的奇点。相对于 PINN，BI-DNN 在相似的可训练参数数量下实现了显著更低的相对误差。当设定特定容忍度时，ABI-DNN 能够自适应学习相应的网络结构，以实现与 BI-DNN 相同结构下的相似误差水平。
引用
@article{arxiv.2412.00636,
title = {Adaptive Basis-inspired Deep Neural Network for Solving Partial Differential Equations with Localized Features},
author = {Ke Li and Yaqin Zhang and Yunqing Huang and Chenyue Xie and Xueshuang Xiang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2412.00636},
year = {2024}
}