通过控制族的非线性实现普适逼近与普适插值
最优化与控制
2025-10-07 v1 动力系统
摘要
动力系统的可控性与神经网络的逼近能力之间存在着显著的联系，其中残差网络和纯feedforward神经网络都可被视为动力系统流图的数值离散化。利用神经网络的表达力，先前的工作探索了各种控制族以实现动力系统的流图，从而实现普适逼近性(UAP)或普适插值性(UIP)。例如，包含特定非线性函数ReLU的仿射族实现UAP；而包含非线性函数的仿射不变性控制族实现UIP。然而，UAP和UIP通常不会等价，因此通常需要以不同技术分别加以研究。在本文中，我们研究更一般的控制族，包括其中是ReLU之外的非线性函数，的对角仿射不变族，以及在均匀范数下保持方向-preserving的diffeomorphism的UAP。我们证明在某些特殊情况下，UAP和UIP确实等价，而在一般情况下，我们引入局部UIP的概念(一种显著弱于UIP的版本)，并证明UAP和局部UIP的组合可实现UIP。特别地，控制族实现了UIP。
关键词
引用
@article{arxiv.2510.03676,
title = {Achieving Universal Approximation and Universal Interpolation via Nonlinearity of Control Families},
author = {Yongqiang Cai and Yifei Duan},
journal= {arXiv preprint arXiv:2510.03676},
year = {2025}
}