通过证明遗传算法演化出近极大种群多样性实现 Jump$_k$ 上紧致的 $O(4^k)$ 运行时间界

JUMP$_k$ 基准是第一个被证明交叉能比仅变异进化算法带来加速的问题。Jansen 和 Wegener (2002) 证明了 ($\mu$+1) 遗传算法 (($\mu$+1) GA) 的上界为 $O(\text{poly}(n) + 4^k/p_c)$，但仅限于不切实际的小交叉概率 $p_c$。迄今为止，为现实的 $p_c$ 证明类似上界仍是一个开放问题；就函数求值而言，对于 $p_c = \Omega(1)$，已知最佳运行时间界为 $O((n/\chi)^{k-1})$，其中 $\chi$ 为正常数。我们提出了一种新方法，并分析了 JUMP$_k$ 上 ($\mu$+1) GA 变体的种群多样性演化（以成对汉明距离之和度量）。该 ($\mu$+1)-$\lambda_c$-GA 在每一代中通过以下方式创建一个后代：对单一亲本施加变异，或对相同两个亲本施加 $\lambda_c$ 次交叉（随后施加变异），以在发生交叉的世代中提高产生被接受后代的概率。我们表明，($\mu$+1)-$\lambda_c$-GA 中的种群多样性收敛至具有近完美多样性的平衡态。在 $p_c = O(1/k)$ 和 $\mu \in \Omega(kn)$ 的温和假设下，对于一定范围的 $k$，这产生了改进的 $O(\mu n \log(\mu) + 4^k)$ 函数求值时间界。对于所有常数 $k$，该限制对于某些 $p_c = \Omega(1)$ 成立，这意味着对于所有常数 $k$ 和适当的 $\mu = \Theta(kn)$，无论 $k$ 取何值，期望运行时间均以 $O(n^2 \log n)$ 为界。对于更大的 $k$，($\mu$+1)-$\lambda_c$-GA 的期望时间为 $\Theta(4^k)$，这对于一大类无偏黑盒算法是紧致的，且比原始 ($\mu$+1) GA 快 $\Omega(1/p_c)$ 倍。我们还表明，我们的分析可扩展至其他单位化函数，如 JUMP$_{k, \delta}$ 和 HURDLE。