在近似二次时间内实现几乎精确恢复：基于局部树相关性检验的秩图匹配

本文研究了相关$\text{Erd\H{o}s-R\'{e}nyi}$（ER）图对模型下的图匹配问题。该模型首先采样一个$\mathrm{ER}(n,\frac{\lambda}{ns})$基图，其边随后以概率$s$独立二次采样两次，产生两个相关的$\mathrm{ER}(n,\frac{\lambda}{n})$图。我们提出了一种图匹配算法，其时间复杂度为$n^{2+o(1)}$，并在假设$\lambda=(\log n)^{\alpha+o(1)}$（其中$\alpha\in(0,1)$）和$s\in(\sqrt{C_{\mathrm{Otter}}},1]$（其中$C_{\mathrm{Otter}}\approx 0.338$是Otter树计数常数）下，以高概率实现几乎精确恢复。这是在该$\lambda$范围内首个具有近似二次时间复杂度的算法，而该范围内最著名的结果是枝形吊灯计数算法，其时间复杂度为$O(n^{c(s)})$，其中当$s$从上方接近$\sqrt{C_\mathrm{Otter}}$时$c(s)\rightarrow \infty$。所提出的算法基于局部树相关性检验。它使用基于秩的算法来匹配顶点对，而不是文献中的基于阈值的规则。这避免了对显式阈值的计算需求，而显式阈值在计算上难以获得。为了证明几乎精确恢复的结果，我们在发散度范围内建立了树相关性检验的新分析，其中平均度和树深度都随$n$增长。基于这一新结果，我们建立了基于局部树相关性检验的基于阈值的图匹配算法阈值的存在性。最后，我们将基于秩的算法的性能与基于阈值的算法相结合，以展示几乎精确恢复。