关于 $\mathbb{S}^{n+1}$ 中 $\lambda_1<n$ 的极小超曲面的指数

本文证明了 $\mathbb{S}^{n+1}$ 中满足 $\lambda_1<n$ 的闭极小超曲面的 Morse 指数至少为 $n+4$,部分回答了 Perdomo 的一个猜想。作为推论,我们重新给出了关于 $\mathbb{S}^3$ 中极小环面的著名 Urbano 定理的部分证明:$\mathbb{S}^3$ 中的极小环面的 Morse 指数至少为 $5$,且等号成立当且仅当它与 Clifford 环面全等。该证明基于两个椭圆算子特征值之间的比较定理,这也为球面中极小超曲面与 $r$-极小超曲面的指数估计的一些已知结果提供了更简单的新证明。