分布式数据中心聚类的统一框架

我们开发了一系列在用户网络上工作的分布式中心聚类算法。在所提出的场景中，用户包含一个本地数据集，并且只与他们的直接邻居通信，其目标是找到完整联合数据的聚类。所提出的算法族，称为分布式梯度聚类（DGC-$\mathcal{F}_\rho$），由 $\rho \geq 1$ 参数化，控制用户中心估计的接近程度，而 $\mathcal{F}$ 决定了聚类损失。我们的框架允许一大类平滑凸损失函数，包括流行的聚类损失，如 $K$-means 和 Huber 损失。针对流行的聚类损失如 $K$-means 和 Huber 损失，DGC-$\mathcal{F}_\rho$ 衍生出新颖的分布式聚类算法 DGC-KM$_\rho$ 和 DGC-HL$_\rho$，而基于 Logistic 和 Fair 函数的新颖聚类损失则导致了 DGC-LL$_\rho$ 和 DGC-FL$_\rho$。我们提供了一个统一的分析，并在温和的假设下建立了几个强有力的结果。首先，我们证明了在任何中心初始化和 $\rho$ 值下，由这些方法生成的中心序列都收敛到一个明确定义的不动点概念。其次，我们证明了，随着 $\rho$ 的增加，DGC-$\mathcal{F}_\rho$ 产生的不动点族收敛到一个共识不动点概念。我们证明 DGC-$\mathcal{F}_{\rho}$ 的共识不动点等价于全数据上梯度聚类的不动点，从而保证了产生全数据的聚类。对于 Bregman 损失的特殊情况，我们证明了我们的不动点收敛到 Lloyd 点集。在合成数据和真实数据上的大量数值实验证实了我们的理论发现，展示了我们方法的强大性能，并证明了我们通用框架的实用性和广泛的应用潜力，例如异常值检测。