有理同伦群中分数阶 Sobolev 映射的定量估计

设 $\mathcal{N} \subset \mathbb{R}^M$ 为无边界的光滑单连通紧流形。$\pi_{N}(\mathcal{N})$ 的一个有理同伦子群由同态 $${\rm deg}: \pi_{N}(\mathcal{N}) \to \mathbb{R}.$$ 表示。对映射 $f: \mathbb{S}^N \to \mathcal{N}$,我们给出其有理同伦群元素 ${\rm deg}([f]) \in \mathbb{R}$ 关于分数阶 Sobolev 范数或 H"older 范数的定量估计。即,我们证明对所有 $\beta \in (\beta_0({\rm deg}),1]$, $$|{\rm deg}([f])|\leq C({\rm deg})\, [f]_{W^{\beta,\frac{N}{\beta}}(\mathbb{S}^N)}^{\frac{N+L({\rm deg})}{\beta}},$$ 且 $$|{\rm deg}([f])|\leq C({\rm deg})\, [f]_{C^{\beta}(\mathbb{S}^N)}^{\frac{N+L({\rm deg})}{\beta}}.$$ 此处 $C({\rm deg}) > 0$、$L({\rm deg}) \in \mathbb{N}$、$\beta_0({\rm deg}) \in (0,1)$ 可由 ${\rm deg}$ 表示的有理同伦群算出。这将 Van Schaftingen 与第二作者关于 Hopf 度的早期工作推广到 Sullivan、Novikov、Hardt 和 Rivi\`ere 发展的有理同伦群 Novikov 积分表示。