度量空间中路径的Fréchet距离的强次二次$(3+\varepsilon)$近似算法

Fréchet距离是度量空间中路径的一种被广泛研究的距离度量。它主要针对$d$维欧几里得空间中的路径进行研究。在这里，计算两条折线之间的Fréchet距离所需时间大致与顶点数量的平方成正比。假设强指数时间假设（SETH），在强次二次时间内无法将其近似到小于$3$的因子。最近，有研究表明，对于任何$\varepsilon>0$，存在一种随机算法，可以在强次二次期望时间内计算$(7+\varepsilon)$近似[程，黄，和张；STOC'25]。对于常数维欧几里得空间中具有$n$和$m$个顶点的折线，其中$n \geq m$，他们的算法期望运行时间为$O(nm^{0.99} \log(n/\varepsilon))$。我们提出了一种确定性近似算法，显著改善了近似因子和运行时间。具体来说，我们的算法在$O(nm^{2/3} \log n \cdot \log (\frac{1}{\varepsilon} \log n))$时间内计算$(3+\varepsilon)$近似。我们的算法几乎匹配了SETH所隐含的近似因子的条件下界。对于$\mathbb{R}$中的折线，我们提出了一种运行时间为$O(nm^{2/3} \log^{5/3} n)$的$3$近似算法，并精确匹配条件性下界。对于我们的结果，我们引入了一种通用的强次二次时间$3$近似判定算法。该算法对周围度量空间不做任何假设，仅依赖于对输入路径所谓自由空间的标准假设。在一些温和假设下，我们的判定算法在一般度量空间中产生$(3+\varepsilon)$近似算法。这些假设对于任何度量空间$(\mathbb{R}^d, L_p)$（其中$p \geq 1$）中的折线自动成立。