有界VC维图的单指数Erdős--Hajnal界

图中的齐次集是团或稳定集。Erdős--Hajnal猜想指出，对于每个图$H$，存在$c>0$，使得每个包含$n$个顶点的$H$-free图都有一个大小至少为$n^c$的齐次集。Nguyen、Scott和Seymour证明了对于每个$d>0$，VC维至多为$d$的图具有Erdős--Hajnal性质，证实了Fox、Pach和Suk的猜想。特别地，他们证明了每个这样的$n$顶点图包含一个大小至少为$n^{\eta_d}$的齐次集，其中$\eta_d\ge 2^{-2^{O(d)}}$。在本文中，我们给出了VC维至多为$d$的图中齐次集的更精确的定量界，证明可以取$\eta_d\ge (Cd)^{-d},$ 其中$C$是一个绝对常数。等价地，每个VC维至多为$d$的图$G$满足 $$\max\{\omega(G),\alpha(G)\}\ge |G|^{(Cd)^{-d}}.$$ 我们的证明改进了Nguyen、Scott和Seymour的迭代稀疏化方法。主要改进是直接应用VC维假设，这给出了更有效的归纳，从而改善了对$d$的依赖。我们还推导了多项式Rödl子图、有界VC维下的超图Ramsey界、诱导-free和病毒公式、竞赛图、NIP和半代数图、有界VC维关系的布尔组合、邻接矩阵有界秩的图、有界符号秩的图以及由点积阈值表示定义的图的定量推论。