通过元胞自动机刻画局部有限群的可逆性

对于有限字母表上的元胞自动机，双射性已经蕴含可逆性。在无限字母表上，这一蕴含关系可能失效，周期情形下的剩余障碍由Ceccherini-Silberstein和Coornaert在《元胞自动机与群》中记录为开放问题2。我们证明了一个精确的群论刻画。一个群 $G$ 是局部有限的，当且仅当在每一个字母表上，每一个双射元胞自动机 $A^G\to A^G$ 都是可逆的。等价地，如果 $G$ 不是局部有限的，那么对于每一个无限字母表 $A$，都存在一个双射元胞自动机 $A^G\to A^G$，其逆不是元胞自动机。反例已在可数字母表上获得。其局部规则具有一个秩轨道、一个方向轨道和一个二元数据轨道；前向映射沿任意长度的有限有向链是三角形的，因此其逆是逐点定义的，但没有统一的有限记忆。因此，开放问题2有肯定的答案，并且周期性假设对于否定方向是不必要的。