关于贝叶斯定理假设的一个注记

我们提出了贝叶斯公式对条件密度有效性的简单等价条件。我们证明，对于任意随机变量 $X$ 和 $Y$（取值于任意可测空间），以下条件是等价的：1. $X$ 和 $Y$ 关于乘积测度 $\mu \times \nu$ 具有联合密度；2. $P_{X,Y} \ll P_X \times P_Y$（此处 $P_{\cdot}$ 表示 $\{\cdot\}$ 的分布）；3. $X$ 关于 $\sigma$-有限测度 $\mu$ 具有条件密度 $p(x | y)$；4. $X$ 具有条件分布 $P_{X|Y}$，使得对所有 $y$ 均有 $P_{X|y} \ll P_X$；5. $X$ 具有条件分布 $P_{X|Y}$ 和关于测度 $\mu$ 的边缘密度 $p(x)$，使得对所有 $y$ 均有 $P_{X|y} \ll \mu$。此外，给定具有关于 $\nu$ 的条件密度 $p(y | x)$ 和关于 $\mu$ 的边缘密度 $p(x)$ 的随机变量 $X$ 和 $Y$，我们证明贝叶斯公式 $p(x | y) = p(y | x)p(x) / \int p(y | x)p(x)d\mu(x)$ 产生关于 $\mu$ 的条件密度 $p(x | y)$，当且仅当 $X$ 和 $Y$ 满足上述条件。文中给出了说明结果非平凡性的反例，并考虑了对序列自适应估计的影响。